ensemble ℕ des nombres entiers naturels contenant tous les nombres entiers positifs
0 1 2 3 4 5 ..........
ensemble ℤ des nombres entiers relatifs contenant l'ensemble ℕ plus les nombres entiers négatifs
...... -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 .......
ensemble ⅅ des nombres décimaux relatifs contenant l'ensemble ℤ plus les nombres à virgule
... -5,8 -5,6 -4 -2 -0,5 0 3,2 5,9 7 ......
ensemble ℚ des nombres rationnels contenant l'ensemble ⅅ plus les fractions de nombres relatifs
... -6,28 -7/2 -3 0 1/2 3/4 6,85 17/2 .....
ensemble ℝ des nombres réels contenant l'ensemble ℚ plus les nombres comprenant une partie décimale infinie
.... -3.56987 -√2 -1/2 0 𝛑 6 ......
Au quotidien ces ensembles de nombres permettent de mesurer tout ce qui est mesurable pour réaliser les opération les plus courantes de la vie, mesurer des distances, des surfaces, des volumes, peser, dater, compter des pièces et en partant de l'ensemble ℕ on peut imaginer une ligne en gros pointillés qui se remplit progressivement pour arriver finalement à une ligne continue pour l'ensemble ℝ.
Cependant mathématiciens et physiciens ont été conduits à imaginer d'autres ensembles pour pouvoir décrire les phénomènes à l’œuvre dans l'univers, il en est ainsi par exemple de l'ensemble ℂ des nombres complexes.
Si l'on peut considérer l'ensemble ℝ comme une droite continue alors l'ensemble ℂ correspond à un plan où les nombres s'écrivent sous la forme z = a + bi
a représente la composante réelle du nombre, b sa partie complexe, i correspond à une rotation de 90° dans le sens anti horaire et le signe + ne correspond pas à une addition mais à un symbole pour séparer les 2 termes réel et imaginaire.
Notons tout de suite une grande particularité de cet ensemble complexe en étudiant le nombre 0 + i (que l'on peut écrire tout simplement i) : sa partie réelle valant 0 et i correspondant à une rotation de 90° il représente simplement un vecteur unitaire orienté à 90° sur l'axe imaginaire.
Compte tenu que la multiplication de 2 nombres imaginaires correspond à la multiplication de leurs distances par rapport à l'origine et à l'addition de leurs rotations par rapport à l'horizontale que se passe-t-il si l'on multiplie i par lui même (i * i que l'on peut écrire aussi i² ) ?
nous obtenons un nouveau vecteur, toujours unitaire (1 * 1 = 1) mais qui a subi 2 rotations successives à 90° (soit 180°) et le résultat est donc un nombre réel de valeur -1
i² = -1 pour la première fois dans l'histoire des nombres nous voyons apparaître un carré négatif !
Examinons maintenant la notion d'itération. Un calcul itératif est la répétition d'une opération dont chaque résultat sert de référence au calcul de l'itération suivante. Pour nous familiariser avec ce calcul prenons comme exemple la fonction x → x² qui revient à calculer le carré de la valeur d'entrée et voyons son évolution avec différentes constantes de départ.
avec x = 1 (ou x = -1)
1 → 1² (=1)
1 → 1² (=1)
1 → 1² (=1)
la suite des itérations reste constante
avec x = 2 (et plus généralement -1 > x > 1)
2 → 2² (=4)
4 → 4² (=16)
16 → 16² (=256)
256 → 256² (=65 536)
la suite des itérations s'échappe vers l'infini
avec x = 0,1 (et plus généralement -1 < x < 1)
0,1 → 0,1² (=0,01)
0,01 → 0,01² (=0,000 1)
0,000 1 → 0,000 1² (=0,000 000 1)
la suite des itérations converge vers 0
Appelons l'ensemble des itérations qui s'échappent vers l'infini "les évadés" et l'ensemble des 2 autres itérations "les prisonniers", pour la fonction x → x² l'ensemble des prisonniers contient tous les nombres entre -1 et 1
Maintenant réalisons les mêmes calculs pour la fonction itérative x → x² + c (où c est la constante de départ)
avec x = 1
1 → 1² + 1 (=2)
2 → 2² + 1 (=5)
5 → 5² + 1 (=26)
26 → 26² + 1 (=677)
cette fois ci les itérations font parties des évadés
avec x = -2
-2 → -2² - 2 (=2)
2 → 2² - 2 (=2)
2 → 2² - 2 (=2)
cette fois ci la suite des itérations reste constante donc fait partie des prisonniers
Après quelques calculs nous arrivons à déterminer que pour la fonction itérative x → x² + c l'ensemble des prisonniers contient tous les nombres entre -2 et 0,25
(on se souviendra que multiplier un nombre z par i revient à faire une rotation anti horaire de 90°)
pour la fonction d'itération z → z² nous obtenons la suite
avec z = i
i → i² (= -1)
-1 → -1² (= 1)
1 → 1² (= 1)
la série d'itérations z → z² reste comprise entre -1 et 1, comme dans l'ensemble ℝ calculé précédemment elle fait partie des prisonniers
pour la fonction d'itérations z → z² + c il devient fastidieux de réaliser les calculs dans le plan complexe et l'utilisation d'un programme informatique s'avère nécessaire. Le résultat obtenu ci-dessous correspond au premier ensemble des prisonniers découvert par Benoît Mandelbrot qu'il a surnommé "Fractales"
Par la suite ces courbes ont donné lieu à d'innombrables développements, leur principale caractéristique étant qu'elles peuvent se répéter à l'infini en agrandissant le facteur de zoom dans les calculs itératifs.
Certains chercheurs ont poussé leur recherches jusqu'à créer un nouvel ensemble en ajoutant une dimension supplémentaire au plan des nombres complexes, pour créer un univers représentant des ensembles de Mandelbrot en 3D que l'on nomme des "Mandelbulbs".
Mes collections 2015, 2016, 2017 représentent diverses variations de Mandelbulbs